Funkcja kwadratowa - przykłady

 

Przykład 1. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wiedząc, że liczby 2 i 6 są miejscami zerowym funkcji, oraz, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość = -1. Wyznacz punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

funkcja kwadratowa osiąga w swojej dziedzinie wartość największą lub najmniejszą w wierzchołku  paraboli. Oznacza to, że  współrzędna y-kowa wierzchołka paraboli  q = - 1

 

       Ponieważ osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta prostopadła do osi OX i                                          przechodząca przez wierzchołek wykresy funkcji, więc miejsca zerowe funkcji muszą być symetrycznie                     rozłożone względem tej osi symetrii. Możemy więc zapisać, że współrzędna

           x - owa wierzchołka wykresu funkcji p = p = 4.  zobacz wykres funkcji y = y =x2 - 2x + 3

       Z postaci kanonicznej funkcji wyznaczamy współczynnik a, pamiętając, że mamy dane dwa miejsca zerowe            funkcji, tzn. f(2) = 0 lub f(6) = 0.

            Postać kanoniczna f(x) = a(x - p)2 + q , więc 0 = a(2 - 4)2 - 1  4a = 1   a = 

            Zapiszmy postać iloczynową i ogólną funkcji, 

                           y = (x - 2)(x - 4)  y =x2 - 2x + 3       

             Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY występuje dla x = 0. f(0) = 3

Odp: Postać ogólna wyraża się wzorem y =x2 - 2x + 3.

         Punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY to:  P(0 , 3)

              zobacz wykres funkcji y = y =x2 - 2x + 3

 

 

Przykład 2. Dla jakich wartości parametru k równanie 3x2 + kx + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

Warunkiem istnienia dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych równania kwadratowego jest, aby  > 0.

       Wyznaczmy więc wyróżnik .

       = b2 - 4ac = k2 - 36

       > 0 k2 - 36 > 0 k < - 6 lub k > 6    

Odp: Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dla k (, - 6 ) lub ( 6 , )

              zobacz wykres funkcji  y = k2 - 36

 

 

Przykład 3. Wyznacz trójmian kwadratowy wiedząc, że suma jego pierwiastków = 8, suma odwrotności jego pierwiastków = oraz, że dla x=0 trójmian przyjmuje wartość 24.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

W zadaniu korzystać będziemy ze wzorów Viete'a  (  x1 + x2 =   oraz  x1* x2 = )

Można również "na piechotę" dodać lub pomnożyć wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego                   i otrzymamy to samo.

       Suma pierwiastków trójmianu kwadratowego  x1 + x2 = 8

       Suma odwrotności pierwiastków tego trójmianu wynosi: 

       Z zadania wiemy, że dla x = 0 trójmian kwadratowy f(x) = ax2 + bx + c, przyjmuje wartość 24.

       Zapiszmy to: f(0) = 24. Z tego wynika, że współczynnik c = 24

       Pozostałe współczynniki wyznaczymy z zapisanych już równań , więc    b = -16

      = 8, więc a = 2

Odp: Trójmian kwadratowy ma postać f(x) = 2x2 - 16x + 24

              zobacz wykres funkcji  y = 2x2 - 16x + 24

 

 

Przykład 4 Wykaż, dla dodatnich liczb a i b prawdziwa jest nierówność  .

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

W zadaniu korzystać będziemy ze wzoru skróconego mnożenia (a - b)2  = a2 - 2ab + b2

Przekształćmy równanie do postaci   0.

Licznik ułamka zawsze jest 0, mianownik tego ułamka jest zawsze > 0 ( a i b są dodatnie )

Wykazaliśmy więc, że dla dodatnich a i b prawdziwa jest nierówność   cnd.

 

 

Przykład 5 Wykaż, dla dodatnich liczb a, b, c prawdziwa jest nierówność ( a + b + c )  9.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

W zadaniu korzystać będziemy z wyniku otrzymanego w przykładzie 4.


Po wymnożeniu ( a + b + c ) przez każdy element drugiego składnika iloczynu otrzymamy

3 +  9.

Z przykładu 4 wiemy, że , więc  3 + min 2 + min 2 + min 2 =  min 9  9

min 2 - oznacza co najmniej 2

min 9 - oznacza co najmniej 9

Wykazaliśmy więc, że dla dodatnich a , b , c  prawdziwa jest nierówność ( a + b + c )  9.  cnd.

 

 

Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania  x2 +(k - 3)x + k - 5 = 0           jest najmniejsza.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

Ustalamy dziedzinę dla k: Aby równanie miało pierwiastki wyróżnik  musi być  0.

= (k - 3)2 - 4(k - 5) = k2 - 10k + 29.

Zauważmy, że > 0 dla każdego k ( ponieważ k2 - 10k + 29 nie posiada pierwiastków i jego              współczynnik a > 0). Możemy więc powiedzieć, że równanie ma pierwiastki dla każdego k, tzn. D: k.

Zapiszmy sumę kwadratów pierwiastków jako (x1 + x2)2 - 2x1*x2

Korzystając teraz z wzorów Viete'a mamy -  2*  = (k - 3)2 - 2(k - 5) = k2 - 8k + 19

Równanie  k2 - 8k + 19  posiada najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, tzn k = = = 4

Odp: suma kwadratów pierwiastków równania  x2 +(k - 3)x + k - 5 = 0  jest najmniejsza dla k = 4.

              zobacz wykres funkcji  y = x2 + x  - 1

 

 

Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru k nierówność  > 0 jest spełniona dla każdego x.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

Współczynniki a obu równań ( licznika i mianownika ) są = 1, tzn. są > 0

Aby w takim przypadku nierówność była spełniona dla każdego x, wyróżniki , dla równania w liczniku i równania w mianowniku, muszą być  < 0.

licznika = 4 - 8k < 0 k >

mianownika = 1 - 4(2 - k2 ) < 0 1 - 8 + 4k2 < 0  k2 <    <  k < .

Z obu równań wynika, że  < k <

Odp: Dla  < k < , nierówność  > 0 jest spełniona dla każdego x.