Miejsca zerowe funkcji

 

Pojęcie to nierozerwalnie związane jest z samą funkcją.  Możesz się z nią bliżej zapoznać  - patrz tutaj .
Jak sobie przypominasz występują tam dwa zbiory:

  • zbiór argumentów {x}, który w układzie współrzędnym kartezjańskim przypisujemy do osi OX
  • zbiór wartości funkcji {y}, który w tymże układzie przypisujemy do osi OY .

 

 Definicja miejsca zerowego funkcji

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument x,

dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

 

Przykłady

Przykład 1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji y = 2x - 1.

Pokaż/Ukryj Przykład

Jest to funkcja liniowa, a więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, : x.

Zgodnie z definicją miejsca zerowego, wyznaczamy wszystkie argumenty x, dla których wartość funkcji jest równa zero.

Zapiszmy to f(x) = 0  lub  y = 0.

y = 0 2x - 1 = 0  2x = 1  x =

Odp: Funkcja ma jedno miejsce zerowe x = ,   zobacz wykres funkcji y = 2x - 1

 

 

Przykład 2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji y = 2(x - 1)(x2 - 4).

Pokaż/Ukryj Przykład

Jest to funkcja wielomianowa stopnia trzeciego, a więc ma co najwyżej trzy miejsca zerowe.

Dziedziną funkcji wielomianowej jest zbiór liczb rzeczywistych, : x.

Zgodnie z definicją miejsca zerowego zapisujemy: f(x) = 0  lub  y = 0.

y = 0  2(x - 1)(x2 - 4) = 0. Rozkładamy na czynniki x2 - 4 = (x - 2)(x+2) korzystając ze wzorów skróconego mnożenia   a2 -  b2 = (a - b)(a + b) 

Mamy więc, 2(x-1)(x-2)(x+2) = 0, stąd x = 1  lub  x = 2  lub x = -2  

Odp: Funkcja ma trzy miejsca zerowe x = 1  lub  x = 2  lub x = -2

Zobacz wykres funkcji y = 2(x - 1)(x2 - 4)

Przykład 3 Wyznacz miejsca zerowe funkcji y =.

Pokaż/Ukryj Przykład

Jest to funkcja wymierna, a więc dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich  x \ {miejsca zerowe mianownika} Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika, aby wyrzucić ich z dziedziny funkcji.

Jest jedno miejsce zerowe mianownika x = 1.

Dziedzina funkcji to zbiór,  : x \ {1}.

Po określeniu dziedziny funkcji, możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe.

y = 0 (x - 4)(x2 - 2x - 1) = 0  (x - 4)(x - 1)(x - 1) = 0

Stąd x = 4  lub  x = 1, ale x = 1 nie należy do dziedziny funkcji, więc jedynym miejscem zerowym jest x = 4.  

Odp: Funkcja ma jedno miejsce zerowe x = 4

Przykład 4 Wyznacz miejsca zerowe funkcji y =.

Pokaż/Ukryj Przykład

Podobnie jak w przykładzie 3, jest to funkcja wymierna.

Dziedziną jest oczywiście zbiór wszystkich  x \ {miejsca zerowe mianownika}

Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika, aby wyrzucić ich z dziedziny funkcji.

Mianownik, x2 - 1, możemy rozłożyć na czynniki ( dwumiany stopnia pierwszego ),                                       wykorzystując wzór skróconego mnożenia  a2 - b2 = (a - b)(a + b, co zapiszemy, że x2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Widzimy teraz, że mianownik funkcji jest równy zero dla x = 1 lub x = - 1. 

Dziedziną funkcji jest zbiór,  : x \ {1, _1}.

Po określeniu dziedziny funkcji, możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe.

 y = 0 (x + 1)(x2 + 2x + 1) = 0  (x + 1)3 = 0

Stąd x = _1, ale  x = -1 nie należy do dziedziny funkcji, więc funkcja nie posiada miejsc zerowych.  

Odp: Funkcja nie posiada miejsc zerowych.