Dziedzina funkcji

 

Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji

Dziedzina funkcji - co to takiego jest?  

Pojęcie to nierozerwalnie związane jest z samą funkcją.  Możesz się z nią bliżej zapoznać  - patrz tutaj .
Jak sobie przypominasz występują tam dwa zbiory:

  • zbiór argumentów {x}, który w układzie współrzędnym kartezjańskim przypisujemy do osi OX
  • zbiór wartości funkcji {y}, który w tymże układzie przypisujemy do osi OY .

 

Definicja dziedziny funkcji

 
Dziedziną funkcji nazywać będziemy zbiór tych wszystkich argumentów funkcji {x}, dla których funkcja
jest określona - ma sens.
 
Dziedzina funkcji to inaczej zbiór wszystkich {x}, dla których istnieje zbiór {y}.

Jeszcze krócej powiemy, że to zbiór określoności funkcji.

Dziedzinę funkcji będziemy oznaczać dużą literą  lub    lub  X   np: : x    lub   : x (-2, 5>

 

Dziedzinę funkcji określamy w następujący sposób:

  1. Wyznaczamy zbiór wszystkich punktów, dla których funkcja jest nieokreślona - nie posiada wartości.
  2. Wyłączamy ten zbiór z dziedziny funkcji - odejmujemy go od zbioru liczb rzeczywistych.
  3. Pozostały zbiór to dziedzina funkcji.

Innymi słowy, wyznaczamy wszystkie argumenty, które można podstawić do wzoru funkcji i obliczyć dla nich jej wartość.

 

Przeciwdziedzina funkcji

Jest to najprościej mówiąc zbiór wartości funkcji {y}

  Przeciwdziedzinę oznaczać będziemy przez  ZW  lub  ZWf  lub np: ZW: y   lub  ZW: y (, 0 )

 

Przykłady wyznaczania dziedziny i przeciwdziedziny funkcji

Przykład 1. Wyznacz dziedzinę  i przeciwdziedzinę funkcji liniowej y = 2x + 1.

Pokaż/Ukryj Przykład

Dziedziną każdej funkcji wielomianowej ( w szczególności liniowej ) jest zbiór licz rzeczywistych,                         tak więc : x.

Uzasadnijmy to jeszcze inaczej:

Podstawiając do wzoru funkcji dowolną liczbę ze zbioru liczb rzeczywistych ( x ), otrzymamy zawsze jakąś wartość, więc : x.      

Wyznaczmy teraz przeciwdziedzinę funkcji ZW (Y).

Ponieważ jest to funkcja liniowa, to przeciwdziedziną jest również zbiór liczb rzeczywistych  ZW: y .

zobacz wykres funkcji y = 2x + 1

 

 

Przykład 2. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 3x -1.

Pokaż/Ukryj Przykład

Podobnie jak w przykładzie 1 , mamy do czynienia z wielomianem. Nie wdając się w dodatkowe uzasadnienia        ( patrz przykład 1 ), powiemy, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych : : x.                                Jeśli chodzi o przeciwdziedzinę, to sprawa jest już nico inna.

Popatrzmy na wykres tej funkcji Wykres nr 1.

 

Wykres nr 1

Aby określić zbiór wartości funkcji, czyli przeciwdziedzinę, musimy określić, w tym przypadku, jej najmniejszą i największą wartość. Funkcją jest parabola o pionowej osi symetrii i ramionach zwróconych do góry           ( patrz funkcja kwadratowa ).
Najmniejsza jej wartość znajduje się w jej wierzchołku o współrzędnych W(1.5 , -3.25).
Największa wartość funkcji to oczywiście , gdyż ramiona paraboli biegną w górę do nieskończoności.
Przeciwdziedziną jest więc zbiór  ZW: y < -3.25 , ).

 

Przykład 3. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji  f(x) =

Pokaż/Ukryj Przykład

Jest to funkcja wymierna ( homograficzna ), postaci  .  

Przypomnijmy, że wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola mająca asymptotę pionową daną równaniem     x= oraz asymptotę poziomą daną równaniem y=.                                                                                          Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór x \ {}.                                                                                Zapiszmy więc dziedzinę:  : x ( - , 1 ) ( 1 , )   albo w równoważny zapis  : x \ { 1 }.

Dziedzinę tej funkcji możemy wyznaczać również w sposób tradycyjny, tzn. wyznaczyć zbiór argumentów dla których funkcja jest nieokreślona i wyłączyć ten zbiór z dziedziny funkcji. 

Popatrzmy na mianownik funkcji. Występuje tam wyrażenie x - 1.                                                                    Wiemy, że mianownik zawsze musi być różny od zera, więc   x - 1   x 1

Dziedziną funkcji jest:  : x ( - , 1 ) ( 1 , )   albo w równoważny zapis     : x \ { 1 }.



Wykres nr 2

Wyznaczamy przeciwdziedzinę funkcji. Popatrzymy na wykres nr 2.

Widzimy, że funkcji przybiera wartości od - do 2 i od 2 +. W x = 2 ( asymptota pozioma ) funkcja jest nieokreślona

Przeciwdziedziną będzie więc zbiór:  ZW: y( -, 2 ) ( 2 , lub krótko ZW: y \ { 2} 

 

Przykład 4. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji  f(x) =

Pokaż/Ukryj Przykład

Jest to funkcja potęgowa o równaniu y = , dla której n jest liczbą całkowitą ujemną  n = _1.                  Wykresem funkcji y = y = jest hiperbola patrz rysunek nr 3.                                                  Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika n. Jeśli n jest liczbą całkowitą ujemną, to D: x \ { 0}.

Jest to również funkcja wymierna ( homograficzna ), postaci    dla której a= 0, d = 0, b = 1  i  c = 1 .   Kiedy a = 0  i  d = 0, wówczas jej asymptotami są osie układu współrzędnych - Wykres nr 3.

Mianownik funkcji musi być różny od zera, co zapisujemy  0.

Dziedzina funkcji:  : y ( - , 0 ) ( 0 , )   albo równoważny zapis  : y \ { 0}.

Wykres nr 3

Wyznaczamy przeciwdziedzinę funkcji. Popatrzymy na wykres nr 3.

Widzimy, że funkcji przybiera wartości od - do 0 i od 0 +. Dla x = 0 ( asymptota pozioma ) funkcja jest nieokreślona

Przeciwdziedziną będzie więc zbiór:   ZW: y( -, 0 ) ( 0 , )

      lub krótko ZW: y \ { 0} 

 

Przykład 5. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji  f(x) = sin(x)

Pokaż/Ukryj Przykład

Sinus jest to funkcja trygonometryczna, okresowa ( o okresie 2 ),  patrz wykres nr 4.

Dziedziną funkcji sin(x) jest zbiór liczb rzeczywistych - : x

 

Wykres nr 4

Zbiorem wartości - przeciwdziedziną jest zbiór  ZW: y < -1 , 1 >

 

Przykład 6. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji  f(x) = tg(x)

Pokaż/Ukryj Przykład

Tangens jest to funkcja trygonometryczna, okresowa ( o okresie ),  patrz wykres nr 5.

Dziedziną funkcji tg(x) jest zbiór liczb rzeczywistych minus  wielokrotność kąta .

: x \

Wykres nr 5

Zbiorem wartości - przeciwdziedziną jest zbiór licz rzeczywistych,  ZW: y

 

Przykład 7. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji  f(x) =

Pokaż/Ukryj Przykład

Funkcja y=  jest funkcją wykładniczą o podstawie a = 2. Patrz wykres funkcji y= 

Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych - : x 

Zbiorem wartości - przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,  ZW: y+                        Patrz wykres funkcji y= 

 

Przykład 8. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji  f(x) =

Pokaż/Ukryj Przykład

Popatrzmy na mianownik tej funkcji. Występuje tam równanie  x2 - 4. Wiemy, że mianownik nie może być zerem, więc musimy wyznaczyć te argumenty {x}, dla których mianownik przyjmuje wartość zero i usunąć ich z dziedziny funkcji.

Mamy więc      x2 - 4 = 0    x = 2   lub   x = -2

Tak, więc dziedzinę funkcji zapiszemy następująco:  : x ( - , -2 ) ( -2 , 2 ) ( 2 , )

  albo w równoważny sposób     : x \ {-2 , 2}.  

Wykres nr 7

Jak wygląda sprawa z przeciwdziedziną funkcji ( zbiorem wartości ) ?

Można korzystać z rachunku różniczkowego i pomóc sobie w tej kwestii.
My oprzemy się na wykresie funkcji - Wykres nr 7.

Widzimy, że funkcji przybiera wartości od - do -0.5 i od powyżej zera do +.
( y = 0 jest asymptotą tej funkcji )

Przeciwdziedziną będzie więc zbiór:    ZW: y( -, -0.5 > ( 0 , )

 

 Podsumowanie

Wyznaczanie dziedziny funkcji nie jest w zasadzie sprawą trudną.

Należy znaleźć i odrzucić ze zbioru argumentów funkcji, wszystkie te argumenty dla których funkcja jest nieokreślona ( traci sens ).
Pozostałe argumenty stanowią szukany zbiór, czyli dziedzinę funkcji.

Na pewno zauważyłeś, że dziedzina funkcji ma dużo wspólnego z ciągłością funkcji. Wszędzie tam gdzie funkcja jest nieokreślona jest również nieciągła.

Na dziedziną funkcji, patrzymy czasem jako na bazę danych, którą możemy przetwarzać za pomocą jej wzoru.

Przeciwdziedzina to natomiast zbiór wartości ( określoności ) funkcji, który jest wynikiem przetworzenia dziedziny funkcji za pomocą wzoru funkcji.