Ciągłość funkcji

 

Ciągłość i granica funkcji

Ciągłość funkcji - co ten termin oznacza. 

Intuicyjnie - funkcja jest ciągła w danym przedziale, "jeżeli można w tym przedziale narysować jej wykres bez odrywania ołówka od kartki papieru”.

Spójrzmy na zagadnienie ciągłości funkcji nieco bardziej precyzyjnie.

Jeżeli w danym przedziale, dla dowolnych argumentów funkcji leżących blisko siebie, wartości funkcji dla tych argumentów mają wartości sobie bliskie ( dowolnie bliskie ), to powiemy, że w tym przedziale funkcja jest ciągła. Można zapytać dlaczego tak musi być ?

Popatrzmy na poniższy wykres funkcji.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wykres nr 1

 Zbliżając argumenty x1 oraz x2  do siebie, tzn. 0,  widzimy, że wartości funkcji dla tych argumentów zbliżają się do siebie, tzn. 0 .

Powyższy zapis możemy interpretować jeszcze tak, że aby funkcja była ciągła, jej wykres                          musi być "mocno upakowany - ciągły".

Taka jest natura ciągłości funkcji.

 

Zapiszmy teraz formalnie pojęcie ciągłości funkcji.

 

Granica funkcji w punkcie.

Zanim określimy kiedy funkcja jest ciągła, musimy wprowadzić pojęcie granicy funkcji w punkcie.

Powiemy, że funkcja posiada granicę w punkcie x0, jeżeli zbliżając się do x0 z lewej strony i z prawej strony, wartości funkcji dla tych argumentów, zbliżają się do wartości funkcji w x0.

Innymi słowy powiemy, że w x0 funkcja ma granicę, jeżeli istnieje granica lewostronna oraz istnieje granica prawostronna w x0 i granice te są sobie równe.

  =

Powyższy zapis jest warunkiem koniecznym i wystarczają istnienia granicy funkcji w punkcie x0.

      Na podstawie istnienia granicy funkcji w punkcie,  możemy wnioskować o jej ciągłości w tym punkcie.

 

Powiemy, że funkcja jest ciągła w punkcie x0, jeżeli istnieje granica funkcji w tym punkcie i jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

 = f(x0)

 

Ciągłość funkcji w przedziale.

Nie wdając się w rozważania ciągłości funkcji w przedziale otwartym i zamkniętym, powiemy krótko, że funkcja jest ciągła w przedziale, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

 

Funkcje ciągłe w swojej dziedzinie

 

  • f(x) = c
  • każdy wielomian
  • każda funkcja wymierna ( w swojej indywidualnej dziedzinie )
  • f(x)=sinx, f(x)=cosx
  • f(x)=tgx
  • f(x)=ctgx
  • f(x)=ax
  • f(x)=logax

 

 

Sprawdzanie ciągłości funkcji w punkcie

 

Aby sprawdzić czy funkcja f(x) jest ciągła w punkcie xo należy:

1. Wyznaczyć wartości granic jednostronnych ( lewostronnej i prawostronnej ) funkcji f(x) dla x x0.
   Jeżeli są one właściwe ( różne od  ) i są równe sobie, to oznacza, że granica funkcji w tym punkcie        istnieje i jest równa wyznaczonej wartości.

2. Wyznaczyć wartość funkcji w punkcie xo, jeśli istnieje.

3. Porównać wartość granicy funkcji z jej wartością w x0 , jeśli są równe to funkcja jest ciągła w punkcie xo

Przykłady

Przykład 1.

Zbadaj ciągłość funkcji 

Ukryj/Pokaż Przykład

Poszukajmy ewentualnych punktów nieciągłości (tzn. punktów, w których funkcja jest nieokreślona lub punktów "podejrzanych" o nieciągłość ).

W naszym przykładzie mamy funkcję złożoną z dwóch funkcji:

 

    ( na wykresie nr 2 kolor czarny )             oraz

                ( na wykresie nr 2 kolor czerwony )

Obie funkcje są określone na całych swoich dziedzinach, więc "podejrzanym" puntem jest punkt x= 0, ponieważ jest to punkt graniczny obu funkcji.

Zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie, wyznaczmy jej granicę w x = 0.

() = -4,         = -4 

Granice z lewej i prawej strony zera są równe, więc istnieje granica = -4

Wyznaczmy wartość funkcji  w x = 0. Jest ona też równa -4.

 

Wykres nr 2

 

Zachodzi więc warunek ciągłości funkcji w x=0.

() =  = f(0).

Odp: Badana funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie. 

 

Przykład 2.

Zbadaj ciągłość funkcji  

Ukryj/Pokaż Przykład

Poszukajmy ewentualnych punktów nieciągłości ( punktów w których funkcja jest nieokreślona lub punktów "podejrzanych" o nieciągłość. )

W przykładzie tym mamy funkcję złożoną z dwóch funkcji:

 |x + 3| -1    ( na wykresie 3 kolor czarny )             oraz

               cos(x)       ( na wykresie 3 kolor czerwony )

 

 

 Wykres nr 3

Obie funkcje są określone na całych swoich dziedzinach, więc "podejrzanym" puntem jest punk x= 0, ponieważ jest to punk graniczny obu funkcji.

Zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie, wyznaczmy jej granicę w x = 0.

(|x+3|) - 1) = 2,         ( cos(x) ) = 1

Ponieważ granica lewostronna jest różna od granicy prawostronnej dla x = 0, więc nie istnieje                        granica funkcji w x= 0, a zatem x = 0 jest punktem nieciągłości funkcji.

 

Odp: Badana funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie dziedzinie poza punktem x = 0.

       Punkt x = 0 jest punktem nieciągłości funkcji.

 

Podsumowanie

Temat ciągłości funkcji można analizować znacznie bardziej szczegółowo.

Wychodząc od definicji Heinego lub Cauchy'ego granicy funkcji, przechodzimy szybkimi krokami do tematu ciągłości funkcji.

Nasze rozważania, prowadzone były w zgodzie z tymi definicjami i były na nich oparte.

Z kolejnymi przykładami dotyczącymi badania ciągłości funkcji, można zapoznać się
pod adresem ( ciągłość funkcji - przykłady ).