Funkcja wymierna - przykłady

Przykład 1. Wyznacz a i b tak, aby wielomian W(x) = x4 - 3x3 + 6x2 + ax + b,  był podzielny przez x2 -  1

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

Zauważmy, że x2 - 1 = (x - 1)(x + 1), a więc W(x) jest podzielny przez (x - 1) oraz (x + 1)

Na mocy Tw. Bezouta  W(1) = 0 i W(-1) = 0

Otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi a i b

W(1) = 1 - 3 + 6 + a + b = 0  oraz  W(-1) = 1 + 3 + 6 - a + b = 0


Stąd a = 3, b= -7

Odp: Wielomian W(x) = x4 - 3x3 + 6x2 + ax + b,  jest podzielny przez x2 -  1 dla a = 3 i b = -7

II sposób rozwiązania

Podzielmy W(x) przez (x2 - 1)

                                      ( x4 - 3x3 + 6x2 + ax + b ) : ( x2 - 1) = x2 - 3x + 7
                                       -x4 +  x2
                                     ---------------
                                              -3x3 + 7x2 + ax + b
                                                3x3 - 3x
                                           ---------------
                                                        7x2  +x(a - 3) + b
                                                        7x2 + 7
                                                    ---------------------- 
                                                        x(a - 3) + (b + 7)
                                 

Reszta z dzielenia wynosi   x(a - 3) + (b + 7) i musi być równa zero. 
Stąd a = 3, b= -7                   

 

 

Przykład 2. Ile wynosi reszta po podzieleniu wielomianu W(x) stopnia n > 2 przez (x - 1)(x - 2), jeśli przy podzieleniu W(x) przez (x - 1) otrzymujemy resztę 2, zaś przy podzieleniu W(x) przez (x - 2) otrzymujemy resztę 1?

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

Należy zauważyć, że przy podzieleniu W(x) przez (x - 1)(x - 2), czyli wielomian stopnia drugiego, otrzymana reszta musi być stopnia niższego od 2, więc musi być postaci ax + b

Z własności ilorazu wielomianów W(x) przez P(x) mamy:

W(x) = P(x)*Q(x) + R(x), więc 

W(x) = Q(x)*(x - 1)*(x - 2) + ax + b

Z tw. o reszcie  mamy:

       Stąd a = -1 i b = 3, więc szukana reszta ma postać -x + 3

Odp: Reszta wynosi -x + 3

 

 

Przykład 3. Wyznacz m dla których równanie (m - 2)x4 - 2(m + 3)x2 + (m - 1) = 0 ma cztery pierwiastki różne od zera.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

Na wstępie zauważmy, że jest to równanie dwukwadratowe, więc możemy go sprowadzić przez podstawienie t = x do równania kwadratowego.

Mamy więc (m - 2)t2 - 2(m + 3)t + (m - 1) = 0

Aby równanie pierwotne posiadało cztery pierwiastki, równanie (m - 2)t2 - 2(m + 3)t + (m - 1) = 0 musi posiadać dwa pierwiastki dodatnie ( ze względu na podstawienie t = x2 )

Zapiszmy to

= (-2m - 6)2 -  4(m - 2)(m - 1) = 4m2 + 24m + 36 - 4m2 + 12m - 8 = 36m + 28 

 

36m + 28 

Korzystając ze wzorów Viete'a  mamy:

t1 * t2 = > 0    (m - 1)(m - 2) > 0   m (-, 1) (2, )

t1 + t2 = > 0    (m + 3)(m - 2) > 0    m (-, -3) (2, )

Rozwiązaniem powyższego układu nierówności jest m > 2

Odp: Równanie (m - 2)x4 - 2(m + 3)x2 + (m - 1) = 0 ma cztery pierwiastki różne od zera dla m > 2.

              np: dla m=3,   zobacz wykres funkcji  y = x4 - 12x2 + 2

 

 

Przykład 4 Wykaż, dla dodatnich liczb a i b prawdziwa jest nierówność  .

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

W zadaniu korzystać będziemy ze wzoru skróconego mnożenia (a - b)2  = a2 - 2ab + b2

Przekształćmy równanie do postaci   0.

Licznik ułamka zawsze jest 0, mianownik tego ułamka jest zawsze > 0 ( a i b są dodatnie )

Wykazaliśmy więc, że dla dodatnich a i b prawdziwa jest nierówność   cnd.

 

 

Przykład 5 Wykaż, dla dodatnich liczb a, b, c prawdziwa jest nierówność ( a + b + c )  9.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

W zadaniu korzystać będziemy z wyniku otrzymanego w przykładzie 4.


Po wymnożeniu ( a + b + c ) przez każdy element drugiego składnika iloczynu otrzymamy

3 +  9.

Z przykładu 4 wiemy, że , więc  3 + min 2 + min 2 + min 2 =  min 9  9

min 2 - oznacza co najmniej 2

min 9 - oznacza co najmniej 9

Wykazaliśmy więc, że dla dodatnich a , b , c  prawdziwa jest nierówność ( a + b + c )  9.  cnd.

 

 

Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania  x2 +(k - 3)x + k - 5 = 0           jest najmniejsza.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

Ustalamy dziedzinę dla k: Aby równanie miało pierwiastki wyróżnik  musi być  0.

= (k - 3)2 - 4(k - 5) = k2 - 10k + 29.

Zauważmy, że > 0 dla każdego k ( ponieważ k2 - 10k + 29 nie posiada pierwiastków i jego              współczynnik a > 0). Możemy więc powiedzieć, że równanie ma pierwiastki dla każdego k, tzn. D: k.

Zapiszmy sumę kwadratów pierwiastków jako (x1 + x2)2 - 2x1*x2

Korzystając teraz z wzorów Viete'a mamy -  2*  = (k - 3)2 - 2(k - 5) = k2 - 8k + 19

Równanie  k2 - 8k + 19  posiada najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, tzn k = = = 4

Odp: suma kwadratów pierwiastków równania  x2 +(k - 3)x + k - 5 = 0  jest najmniejsza dla k = 4.

              zobacz wykres funkcji  y = x2 + x  - 1

 

 

Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru k nierówność  > 0 jest spełniona dla każdego x.

Pokaż/Ukryj Przykład

  Analiza i rozwiązanie zadania:

Współczynniki a obu równań ( licznika i mianownika ) są = 1, tzn. są > 0

Aby w takim przypadku nierówność była spełniona dla każdego x, wyróżniki , dla równania w liczniku i równania w mianowniku, muszą być  < 0.

(*) licznika = 4 - 8k < 0 k >

(**) mianownika = 1 - 4(2 - k2 ) < 0 1 - 8 + 4k2 < 0  k2 <    <  k < .

Z (*) i (**)  wynika, że rozwiązaniem jest  < k <

Odp: Dla  < k < , nierówność  > 0 jest spełniona dla każdego x.