Funkcja wielomianowa - wymierna

Zanim zaczniesz przyswajać sobie wiadomości odnośnie funkcji wielomianowej - wymiernej, powinieneś znać pojęcia związane z samą funkcją.  Możesz się bliżej z nimi zapoznać  - patrz tutaj .

Definicja funkcji wymiernej

Funkcję wymierną, zmiennej rzeczywistej x, nazywamy funkcję postaci F(x) =

Gdzie W(x) i P(x) są wielomianami oraz P(x) 0 - jest różny od wielomianu zerowego.

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych minus miejsca zerowe      wielomianu P(x)

D: x \ {x: P(x) = 0}

 

Definicja funkcji wielomianowej - definicja wielomianu

Funkcja wielomianowa stopnia n N ( wielomian stopnia n N ), zmiennej rzeczywistej x,    to funkcja postaci:

(*)   W(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x +a0 

Gdzie liczby a0, a1, a2, ... , an-2, an-1, an  -  nazywamy współczynnikami wielomianu i an 0.

Dziedziną wielomianu jest zbiór liczb rzeczywistych,  D: x .

Stopień wielomianu W(x), to wartość największego wykładnika zmiennej x.

Możemy także powiedzieć, że stopień wielomianu W(x), to najwyższy ze stopni jednomianów, które ten wielomian tworzą.

Stopień wielomianu oznaczamy przez st.W(x).

Wielomianem stopnia zero nazywamy funkcję stałą postaci y = a0,  gdzie a0 0

Wielomianem zerowym nazywamy funkcję stałą postaci y = 0 i oznaczamy W(x)0.          Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia.

 

Uwaga:

Wielomian to inaczej funkcja wielomianowa - nazw tych używamy zamiennie.

Pamiętaj, że wielomian to taka funkcja postaci (*),  że wykładnikami zmiennych są liczby naturalne.

Wielomian to inaczej suma jednomianów - patrz tutaj

Funkcję wielomianową możemy również nazywać funkcją wymierną postaci .

 

Właściwości wielomianów

Dodawanie wielomianów -

Sumą wielomianów P(x) i Q(x) nazywamy wielomian W(x), że W(x) = P(x) + Q(x).

Suma wielomianów, to inaczej mówiąc suma ich odpowiednich jednomianów.

Odejmowanie wielomianów - 

Różnicą wielomianów P(x) i Q(x) nazywamy wielomian W(x), że W(x) = P(x) - Q(x).

Różnica wielomianów, to inaczej mówiąc różnica ich odpowiednich jednomianów.

 Mnożenie wielomianów -

Iloczynem wielomianów P(x) i Q(x) nazywamy wielomian W(x), że W(x) = P(x) * Q(x).

Iloczyn wielomianów, to inaczej mówiąc iloczyn ich odpowiednich jednomianów.

Dzielenie wielomianów -

Ilorazem wielomianów W(x) przez P(x) nazywamy taki wielomian Q(x) i R(x), że spełniona jest

równość:                                        W(x) = P(x)*Q(x) + R(x)

Gdzie P(x) - nazywamy dzielnikiem i P(x) 0 - nie jest wielomianem zerowym

        Q(x) - nazywamy ilorazem

        R(x) nazywamy resztą z dzielenia. R(x) 0 lub st.R(x) < st.P(x) 

 

 
 Jednomian 
 
 

Jednomianem stopnia n N+, zmiennej rzeczywistej x, nazywamy funkcję postaci:

(*)  W(x) = axn  

Gdzie a i a 0.

Liczbę a nazywamy współczynnikiem jednomianu

Dziedziną jednomianu jest zbiór liczb rzeczywistych,  D: x .

Stopień jednomianu oznaczamy przez st.W(x).

Jednomianem stopnia zero nazywamy funkcję stałą postaci W(x) = a,  gdzie a 0

Jednomianem zerowym nazywamy funkcję stałą postaci W(x) = 0 i oznaczamy W(x)0.          Jednomian zerowy nie ma określonego stopnia.

 

Twierdzenia dotyczące wielomianów

Tw.1  Równość wielomianów:

Dwa wielomiany są równe gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

Tw.2  Twierdzenie o reszcie:

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - a) jest równa W(a).

Tw.3  Twierdzenie o pierwiastkach wielomianu - Twierdzenie Bezouta:

 Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - a).

Tw.4  Twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu

Liczba pierwiastków wielomianu niezerowego W(x) zmiennej rzeczywistej x, jest nie większa od jego stopnia.

Tw.5  Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki

Każdy wielomian co najmniej trzeciego stopnia można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.

Uwaga: Twierdzenie to nie podaje metody rozkładu wielomianu na czynniki. Taki rozkład może być czasami bardzo skomplikowany.

Tw.6  Twierdzenie o poszukiwaniu pierwiastków wymiernych:

Jeśli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny , to licznik tego pierwiastka (p) jest podzielnikiem wyrazu wolnego - a0, zaś mianownik (q) jest podzielnikiem          wyrazu an.

 

 

Przykłady

 

Przykład 1. Znajdź liczby a i b, dla których wielomiany W(x) i P(x) są równe, jeśli

                    W(x) = (x2 - ax)2 - (x2+ bx)2  ,  P(x) = -2x3 - 3x2

Pokaż/Ukryj Przykład

1. Porządkujemy wielomian W(x) wykonując niezbędne operacje.

                  (x2 - ax)2 = x4 - 2ax3 + a2x2   ,     (x2+ bx)2 = x4 + 2bx3 + b2x2  

    W(x) =  x4 - 2ax3 + a2x2 -  (x4 + 2bx3 + b2x2 ) =  -2ax3 + a2x2 - 2bx3 - b2x2  =   - x3(2a + 2b)  + x2(a2- b2) .  

2. Wykorzystując  Tw. 1  dokonujemy sprawdzeń odpowiednich współczynników wielomianów W(x) i P(x).

    W(x) = P(x)  - x3(2a + 2b) + x2(a2- b2) -2x3 - 3x2 .    Mamy więc układ równań


Z pierwszego równania wyznaczmy a = 1 - b i wstawmy do drugiego 

(1 - b)2 - b =  -3 1 - 2b +  b2 b2 = -3  1 - 2b = -3 b = 2

podstawiając b=2 do równania a = 1 - b otrzymujemy, że a = -1

Odp: Szukane liczby dla których wielomiany są równe, to a= -1  i  b = 2 

 

 

Przykład 2. Rozłóż wielomian na czynniki, jeśli

                    W(x) = x3 + 5x2 + 3x - 9

Pokaż/Ukryj Przykład

                Rozkład wielomianu na czynniki wykonujemy na podstawie  Tw. 5

             I Sposób:

             Zapiszmy nasz wielomian w postaci W(x) =  x3 + (6x2 -  x2 ) + (9x  -  6x) - 9

             Możemy teraz pogrupować wielomian W(x) =  x3 - x2 + 6x2 - 6x + 9x - 9 = x2(x - 1) + 6x(x - 1) + 9(x-1)

             Wyciągając przed nawias x - 1 mamy:  W(x) =  (x - 1)(x2 + 6x + 9)

             Pozostaje nam rozłożyć na czynniki równanie kwadratowe x2 + 6x + 9, a to już jest prosta sprawa.

             Nie musimy nawet liczyć współczynnika , ponieważ zauważamy, że x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

 Odp: Ostatecznie W(x) = (x - 1)(x + 3)2 

 

II Sposób:

Korzystając z Tw. 6  łatwo znajdujemy, że x = 1 jest pierwiastkiem naszego wielomianu.  

               Na podstawie Tw. 3  nasz wielomian  W(x) = x3 + 5x2 + 3x - 9 dzieli się bez reszty przez dwumian (x - 1).

               Podzielmy więc W(x) przez (x - 1)

                                      ( x3 + 5x2 + 3x - 9 ) : ( x - 1) = x2 + 6x + 9
                                       -x3 +  x2
                                     ---------------
                                              6x2 + 3x
                                            - 6x2 + 6x
                                           ---------------
                                                        9x  - 9
                                                      - 9x + 9
                                                    ---------------

              Mamy więc, W(x) =  x3 + 5x2 + 3x - 9  =  ( x - 1)( x2 + 6x + 9) = (x - 1)(x + 3)2 

Odp: Ostatecznie W(x) = (x - 1)(x + 3)2 

 

 

Przykład 3. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = 2x3 - 3x2 - 2x + 4 przez dwumian (x - 3) 

Pokaż/Ukryj Przykład

                 Korzystając z Tw. 2 mamy W(3) = reszta z dzielenia W(x) : (x - 3)

                 Formalnie zapiszemy to, że W(x) = Q(x)*(x - 3) + R(x) W(3) = R(x)

                 Obliczamy W(3) = 2*27 - 3*9 - 2*3 + 4 = 54 - 27 - 6 + 4 = 25                 

  Odp: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 2x3 - 3x2 - 2x + 4 przez dwumian (x - 3) jest równa 25

 

 

Przykład 4. Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 3x3 + mx2 - 4x + 2                                                 przez dwumian x - 2 jest równa 6.

Pokaż/Ukryj Przykład

             I Sposób:

             Korzystając z Tw. 2 mamy W(2) = reszta z dzielenia W(x) : (x - 2) , więc  W(2)= 6

             Formalny zapis:  W(x) = Q(x)*(x - 2) + R(x) W(2) = R(x) = 6

                Wyznaczmy resztę W(2) = 3*8 + 4m - 8 + 2 = 4m +18.

                4m + 18 = 6 m = -3

Odp:  Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 3x3 + mx2 - 4x + 2 przez dwumian x - 2 jest równa 6  dla m= -3

II Sposób:

               Podzielmy więc W(x) przez (x - 2)

                                      ( 3x3 + mx2 - 4x + 2 ) : ( x - 2) = 3x2 + x(6 + m) + (2m + 8)
                                       -3x3 + 6x2
                                     ---------------
                                              (6 + m)x2 - 4x
                                            - (6 + m)x2 + (12 + 2m)x
                                           ---------------------------------
                                                                (2m + 8)x  +  2
                                                               -(2m + 8)x  +  4m + 16
                                                            ---------------------------------
                                                                                      4m + 18

Widzimy, że reszta z dzielenia = 4m + 18 i jak treść zadania mówi jest reszta ta jest równa 6.                  Zapiszmy to,  4m + 18 = 6 m = -3

Odp:  Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 3x3 + mx2 - 4x + 2 przez dwumian x - 2 jest równa 6  dla m= -3

 


 

Więcej przykładów dotyczących funkcji wymiernej znajdziesz: Funkcja wymierna - przykłady