Funkcja liniowa

 

 Funkcja liniowa - wprowadzenie

Funkcja liniowa - jest to szczególny rodzaj funkcji, w której wartości funkcji są wprost proporcjonalne do wartości argumentów ( jeśli x zwiększy się np: 3 razy to y również zwiększy się 3 razy ), co oznacza że jej wykresem musi być linia prosta. Stąd też i nazwa funkcji - funkcja liniowa.

Nie zrobimy dużego błędu mówiąc, że jest ona jedną z najważniejszych i najbardziej wykorzystywanych funkcji w różnych dziedzinach naszej życia.  

Spotykamy się z nią wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z projektowaniem, analizowaniem, badaniem, postrzeganiem oraz tworzeniem naszej rzeczywistości. 

Spójrzmy na jakiś obiekt w naszym otoczeniu. Jest oczywiste, że patrzymy na niego po linii prostej i prawie zawsze odległość do tego obiektu wyznaczać będziemy po linii prostej. Większość obiektów, które w okół nas się znajdują, mają  linie proste w swoich konturach.

Funkcję liniową wykorzystuje się bardzo często w takich dziedzinach jak: patrz rozdział funkcja.

Wzór i właściwości funkcji liniowej


Funkcję liniową określamy wzorem:

f(x) = ax + b     lub       y = ax + b

gdzie:

a - współczynnik kierunkowy, określający kąt nachylenie wykresu funkcji do osi OX.

b - wyraz wolny, mówiący o przesunięciu wykresu funkcji na osi OY.

 

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta

 

1. Współczynnik kierunkowy prostej jest = tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi OX.        

Związek ten zapisujemy:   a = tg()

  • Jeżeli kąt jest ostry ( 0 < < 90 ),  to współczynnik kierunkowy jest dodatni ( rys. 1 ).
  • Jeżeli kąt jest rozwarty (90 < < 180) , to współczynnik kierunkowy jest ujemny ( rys. 2 ).
  • Jeżeli = 90, to współczynnik kierunkowy nie istnieje, ponieważ tg(90) nie istnieje.
  • Jeżeli = 0lub = 180, to współczynnik kierunkowy a = 0 i mamy do czynienia z funkcją liniową stałą o równaniu y = b.  Zobacz wykres funkcji  np: y = -6. 

 

                    rys. 1                                                                  rys. 2    

Na rys. 1 widać wyraźnie, że  =  tg(). Z równania prostej y = ax wynika, że  a = .

Porównując stronami oba równania zapisujemy , że a = tg().  

 

2. Wyraz wolny b w równaniu funkcji y = ax + b

Wyraz wolny b, mówi przesunięciu wykresu funkcji na osi OY. Przesunięcie to jest równoległe względem funkcji y = ax - w górę lub w dół.

Jeśli b jest ujemny, wykres funkcji jest przesunięty o b jednostek w dół,                                  ( np: y = 2x - 3 , jest przesunięty o 3 jednostki w dół ).

Jeśli b jest dodatni, wykres funkcji jest przesunięty o b jednostek w górę,                               ( np: y = 2x + 4, jest przesunięty o 4 jednostki w górę ).

 
 
3. Dziedzina funkcji - dziedziną funkcji liniowej jest zbiór licz rzeczywistych, ponieważ dla każdego argumentu ze zbioru liczb rzeczywistych funkcja liniowa posiada wartość.
Zapisujemy więc, że D: xR
 
4. Ciągłość funkcji - funkcja jest ciągła w całym zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ dla każdego argumentu xR, funkcja liniowa posiada granicę i jest ona zawsze = wartości funkcji liniowej dla tego argumentu.  
 
5. Monotoniczność -   Funkcja liniowa jest rosnąca jeżeli a > 0.

Funkcja liniowa jest malejąca jeżeli a < 0.

Funkcja liniowa jest stała jeżeli a = 0.

6. Miejsca zerowe -  f(x) = 0, więc ax + b = 0   x = 
 
 

Przykłady

Przykład 1.

Weźmy funkcję liniową o równaniu y = .

Pokaż/Ukryj przykład

Współczynnik kierunkowy dla tej prostej wynosi a =

zobacz wykres funkcji y = .

Aby wyznaczyć kąt nachylenia tej prostej do osi OX, korzystamy ze związku, że  = tg            Odczytując z tablic matematycznych kąt, dla którego wartość tangensa = , otrzymamy kąt  = 30

      Wyznaczmy teraz dziedzinę, ciągłość, monotoniczność, miejsca zerowe funkcji y = .

Dziedzina funkcji - dziedziną tej funkcji jest zbiór licz rzeczywistych co zapisujemy D: xR
 
Ciągłość funkcji - funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie, ponieważ w równaniach liniowych nie występują punkty nieciągłości.
 
Monotoniczność - funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, ponieważ współczynnik kierunkowy prostej jest     większy od zera, tzn. a =   > 0
Miejsca zerowe -  f(x) = 0, więc = 0    x =  6    x=   x = .  
Ostatecznie  x= 2

Przykład 2.

Weźmy funkcję liniową o równaniu y = .

Pokaż/Ukryj przykład

Współczynnik kierunkowy dla tej prostej wynosi a =   i jest ujemny. 

zobacz wykres funkcji

Odczytując z tablic matematycznych kąt, dla którego wartość tangensa = , otrzymamy kąt  = 150

Wyznaczmy teraz dziedzinę, ciągłość, monotoniczność, miejsca zerowe funkcji y = .
Dziedzina funkcji - dziedziną tej funkcji jest zbiór licz rzeczywistych co zapisujemy D: xR

Ciągłość funkcji - funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie, ponieważ w równaniach liniowych nie występują punkty nieciągłości.

Monotoniczność - funkcja jest malejąca w całej dziedzinie, ponieważ współczynnik kierunkowy prostej jest    mniejszy od zera, tzn. a =   < 0

Miejsca zerowe -  f(x) = 0, więc  = 0    x  x=   x = .  

Ostatecznie  x=