Funkcja kwadratowa

 

Zanim zaczniesz przyswajać sobie wiadomości odnośnie funkcji kwadratowej, powinieneś znać pojęcia związane

z samą funkcją.  Możesz się bliżej z nimi zapoznać  - patrz tutaj .

Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa ( trójmian kwadratowy ), to funkcja postaci f(x) = ax2 + bx + c

gdzie a, b, c i a 0.
Liczby a, b, c  -  nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. 

Można powiedzieć także, że funkcja kwadratowa, to wielomian drugiego stopnia, będący sumą trzech jednomianów ( ax2, bx, c ) - stąd nazwa trójmian kwadratowy.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola - patrz wykres 1.

 

 Rozróżniamy trzy główne postacie funkcji kwadratowej:

  • postaci ogólną : y = ax2 + bx + c , gdzie a, b, c i  a 0.
  • postać kanoniczną: y = a(x - p)2 + q , gdzie a, p, q i  a 0.                               
  • postać iloczynową: y = a(x - x1)(x - x2) - pod warunkiem, że funkcja kwadratowa posiada miejsca zerowe x1, x2  oraz a 0.                                                                           Jeśli x1= x2 = x0 , to postać iloczynową możemy zapisać jako y =  a(x - x0)2.

 

 

Przyjrzyjmy się teraz bliżej każdej z postaci funkcji kwadratowej i spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, co szczególnego kryje się za każdą z nich oraz jakie relacje ( związki ) między tymi postaciami zachodzą.

 

                               

Wykres 1a.                                                                                        Wykres 1b. 

 

 Postać ogólna funkcji kwadratowej

Postać ogólna - y = ax2 + bx + c , gdzie a, b, c i  a 0.

Jak sama nazwa mówi, jest to postać dająca nam ogólne informacje o właściwościach funkcji kwadratowej. Możemy z niej odczytać współczynniki funkcji kwadratowej ( a, b, c )  i na ich podstawie wyznaczyć właściwości funkcji.

 

Właściwości

  • 1. Dziedzina: D:
  • 2. Miejsca zerowe:                                                                                                           Ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest zależna od wartości jej wyróżnika   Δ = b2 - 4ac.

Jeśli:
- Δ > 0 - mamy dwa miejsca zerowe.

  ,     

- Δ = 0 - mamy jedno podwójne miejsce zerowe.

- Δ < 0 - brak miejsc zerowych.

 

    • 3. Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.
    • 4. Parzystość: funkcja jest parzysta dla b = 0
    • 5. Nieparzystość: nigdy nie występuje
    • 6. Punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne: ( 0, c)

 

Dla pozostałych właściwości, musimy rozpatrzyć dwa przypadki

w zależności od współczynnika a:

I.  a > 0  -  Wykres 1a.

  • 7. Monotoniczność: malejąca x ( -,  ) , co oznacza, że funkcja jest malejąca        od -do wierzchołka paraboli.                                                                                                                                               rosnąca  x ( ), co oznacza, że funkcja jest malejąca          od wierzchołka paraboli do.                                 
  • 8. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x (-, x1) lub (x2).  Gdy Δ < 0 to x
  • 9. Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ( x1 , x2 ).  Jeśli Δ < 0 to x  

 

II.  a < 0  -  Wykres 1b.

  • 7. Monotoniczność: rosnąca x ( -,  ), co oznacza, że funkcja jest malejąca         od -do wierzchołka paraboli.                                                                                                                                       malejąca x ( ), co oznacza, że funkcja jest malejąca           od wierzchołka paraboli do
  • 8. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x ( x1 , x2 ).  Jeśli Δ < 0 to x  
  • 9. Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x (-, x1) lub  (x2).  Jeśli Δ < 0 to x
  • 10. Zbiór wartości - przeciwdziedzina: ZW = ⟨ _ ∞), co oznacza, że przeciwdziedzina rozpoczyna się w wierzchołku paraboli i biegnie do minus nieskończoności.
 

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Kanoniczna postać funkcji kwadratowej znakomicie obrazuje umiejscowienie wykresów funkcji            w układzie współrzędnych. Oznacza to, że mając postać kanoniczną funkcji kwadratowej, możemy     w łatwy sposób naszkicować jej wykres i odczytać właściwości.  

Postać kanoniczna wyrażona jest wzorem :  y = a(x - p)2 + q , gdzie a, p, q i  a 0.

p i q to współrzędne wierzchołka paraboli, która jak pamiętamy jest wykresem funkcji kwadratowej.

Zapisujemy to, że W = ( p, q )

p i q możemy wyrazić za pomocą współczynników a, b, c  występujących w postaci ogólnej.

p , q =   ,  patrz Wykresy 1a i 1b.

Mając więc równanie funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, możemy w łatwy sposób wyznaczyć jej postać kanoniczną.      

 

 Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

postać iloczynową wyrażamy wzorem: y = a(x - x1)(x - x2) - gdzie x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji.

Postać iloczynowa ma sens, jeżeli funkcja kwadratowa posiada miejsca zerowe x1, x2  oraz a 0. 

Jeśli x1= x2 = x0 , to postać iloczynową możemy zapisać jako y =  a(x - x0)2

Jeśli funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych, to postać iloczynowa nie istnieje.

 

Uwagi praktyczne

Aby naszkicować dokładny wykres funkcji kwadratowej, z którego będzie można potem odczytać wszystkie jej własności należy:

  • ustalić w którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
    Jeżeli a > 0, to w górę, a jeżeli a < 0, to w dół.
  • wyznaczyć miejsca zerowe funkcji.
    Należy rozwiązać równanie f(x) = 0, czyli wzór funkcji = 0
  • Wyznaczyć wierzchołek paraboli W = ( p, q), 
  • Wyznaczyć punkt przecięcia wykresu z osią OY, współrzędne: ( 0, c).

 

Przykłady

 Przykład 1. Zbadaj przebieg funkcji kwadratową y = x2 - 2x - 3. Wyznacz postać kanoniczną i iloczynową funkcji.

Pokaż/Ukryj Przykład

1. Dziedziną każdej funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych,  : x.

2. Miejsca zerowe: y = 0   x2 - 2x - 3 = 0         zobacz wykres funkcji y = x2 - 2x - 3

Miejsca zerowe funkcji możemy wyznaczyć w oparciu o wyróżnik  Δ  i  odpowiednie wzory na miejsca zerowe.

W tym przypadku, łatwiej jednak będzie rozłożyć wzór funkcji na czynniki, sprowadzając go tym samym do      postaci iloczynowej.  Z postaci iloczynowej w naturalny sposób odczytamy miejsca zerowe.

Pogrupujmy odpowiednie składniki zapisując wcześniej, że  -2x  =  -3x + x.

x2 - 2x - 3 = 0 x2 + (-3x + x ) - 3 =  0  x(x - 3) + 1(x - 3) = 0    (x - 3)(x + 1) = 0 

    Miejsca zerowe to  x1 = 3  lub x2 = -1                 zobacz wykres funkcji y = x2 - 2x - 3

3. Postać iloczynowa:  y =  1(x - 3)(x + 1) 

4. Różnowartościowość:  Jak każda funkcja kwadratowa i ta funkcja nie jest różnowartościowa,

    ponieważ np f(-2) = f(4) = 5, więc dla dwóch różnych argumentów mamy tą samą wartość.

5. Parzystość: funkcja nie jest parzysta, ponieważ b = -6  0

6. Punkt przecięcia z osią OY: (0 , - 3)

7. Monotoniczność: a = 1 > 0, więc funkcja jest malejąca dla x ( -,   )    x ( -, 1 )
                                                      
funkcja jest rosnąca dla  x ( 1,  )

8. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x ( -, -3)  lub  (-1,). 

9. Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ( -3 , -1 ).  Jeśli Δ < 0 to x  

10. Zbiór wartości - przeciwdziedzina: ZW = ⟨ -4,  ∞).

 

Postać kanoniczna określona jest wzorem: y = a(x - p)2 + q ,    gdzie p =  , q =   

Wyznaczamy p i q. 

p = 1 ,  q = -4,

Ostatecznie postać kanoniczną funkcji określa wzór:  y = 1(x - 1)2 - 4

 zobacz wykres funkcji y = x2 - 2x - 3

 

Przykład 2. Podaj wzór funkcji w postaci kanonicznej i ogólnej wiedząc, że funkcja osiąga najmniejszą wartość = . Prosta o równaniu x = jest osią symetrii wykresu funkcji, a punkt o współrzędnych (2 , 5) spełnia równanie  funkcji.

Pokaż/Ukryj Przykład

1. Analiza i rozwiązanie zadania:

a. funkcja kwadratowa osiąga w swojej dziedzinie wartość największą lub najmniejszą w wierzchołku  paraboli. Oznacza to, że  współrzędna y-kowa wierzchołka paraboli  q =

       b. Prosta x = jako oś symetrii paraboli musi przechodzić przez jej wierzchołek. Oznacza to, że                          współrzędna x-owa wierzchołka paraboli  p =

       Zapiszmy więc, że wierzchołek paraboli ma współrzędne W( , ). 

       Jeśli punkt (2, 5) spełnia równanie funkcji, to korzystając z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej                        y = a(x - p)2 + q ,  możemy zapisać  5 = a(2 - )2 .

       Z zapisanego równania wyznaczamy współczynnik a.

       5 + = a  = a a = 2.

       Odp: Postać kanoniczną funkcji określa wzór: y = 2(x - )2 .                                                                                      Postać ogólną funkcji określa wzór y = 2x2 - x - 1

zobacz wykres funkcji y = 2x2 - x - 1

Więcej przykładów dotyczących funkcji kwadratowej znajdziesz: Funkcja kwadratowa - przykłady